Định lý Pythagore và các tứ giác thường gặp

Định Lý Pythagore được áp dụng rất phổ biến trong đời sống hằng ngày, nó được đặt theo tên nhà toán học Hy Lạp cổ đại Pythagore. Xét về thực tế, định lý Pythagore có từ lâu trước cả nhà toán học Pythagore, tuy nhiên ông là người đầu tiên đã chứng minh được định lý này.

1. Tứ giác, Tứ giác lồi lồi là gì?

Tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng AB. BC, CD, DA trong đó không có hai đoạn thẳng này nằm trên cùng một đường thẳng.

Tứ giác lồi là tứ giác mà hai đỉnh thuộc một cạnh bất kì luôn nằm về một phía của đường thẳng đi qua hai đỉnh còn lại.

2. Tổng các góc của một tứ giác

Định lý: Tổng các góc của một tứ giác bằng ${360}^0$

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}={360}^0$

3. Định lý Pythagore

Định lý: Trong một tam giác vuông, bình thương độ dài của cạnh huyền bằng tổng các bình phương độ dài hai cạnh góc vuông.

Giả thiết: Tam giác ABC vuông tại A ($\hat{A}={90}^0$)

Kết luận: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$

* Chú ý:

Trong một $△$vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.

$\left.\begin{array}{r}△ABC\perp A\\ M trung điểm BC\end{array}\right\}\Rightarrow MA=MB=MC=\frac{1}{2}BC$

4. Định lý Pythagore đảo

 Định lý: Nếu một tam giác có bình phương độ dài của một cạnh bằng tổng các bình phương độ dài hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.

Giả thiết: Tam giác ABC, $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$

Kết luận: $△ABC vuông:\hspace{0.17em}\hat{A}={90}^0$

5. Hình thang

a. Định nghĩa hình thang

Hình thang  là tứ giác có hai cạnh đối song song

b. Tính chất của hình thang

Nếu ABCD là hình thang có 2 đáy AB và CD thì: AB // CD

c. Dấu hiệu nhận biết hình thang

ABCD là hình thang:
Tứ giác có AB // CD hoặc AD // BC

6. Hình thang cân

a. Định nghĩa hình thang cân

Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau

b. Tính chất hình thang cân

Nếu tứ giác ABCD là hình thang cân (AB // CD) thì ta có:

$$\begin{gathered} \hat{A}=\hat{B}; \hat{C}=\hat{D} \\ AD=BC \\ AC=BD \end{gathered}$$

c. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân:

- Dấu hiệu 1: Hình thang có $\hat{A}=\hat{B}$ hoặc $\hat{C}=\hat{D}$

- Dấu hiệu 2: Hình thang có $AC=BD$

7. Hình bình hành

a. Định nghĩa hình bình hành

Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song

b. Tính chất của hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hìn thì:

AB // CD; AD // BC

AB = CD; AD = BC

$$\begin{gathered} \hat{A}=\hat{C}; \hat{B}=\hat{D} \\ OA=OC; OB=OD \end{gathered}$$

c. Dấu hiệu nhận biết hình bình hành:

Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nếu:

- Dấu hiệu 1: AB // CD và AD // BC

- Dấu hiệu 2: AB = CD và AD = BC

- Dấu hiệu 3: AB // CD và AB = CD

- Dấu hiệu 4: $\hat{A}=\hat{C}$ và $\hat{B}=\hat{D}$

- Dấu hiệu 5: OA = OC và OB = OD

8. Hình thoi

a. Định nghĩa hình thoi

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau

b. Tính chất của hình thoi

Nếu tứ giác $ABCD$ là hình thoi thì:

- $ABCD$ có đủ các tính chất của hình bình hành.

- AB = BC = CD = DA

- $AC\perp BD$

- AC là phân giác $\hat{A},\hat{C};$ và BD là phân giác $\hat{B},\hat{D}$

c. Dấu hiệu nhận biết hình thoi

Tứ giác ABCD là hình thoi nếu:

- Dấu hiệu 1: Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau: AB = BC = CD = DA

- Dấu hiệu 2: Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau:  AB = BC

- Dấu hiệu 3: Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc: $AC\perp BD$

- Dấu hiệu 4: Hình bình hành có 1 đường chéo là phân giác của 1 góc: AC là phân giác $\hat{A}$

9. Hình chữ nhật

a. Định nghĩa hình chữ nhật

Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông

b. Tính chất hình chữ nhật

Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì:

- Nó có tính chất của hình bình hành và hình thang cân.

- $\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}=\hat{D}={90}^0$

- AC = BD

c. Dấu hiệu nhận biết hình vuông

- Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nếu:

DH1: $\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}={90}^0$

- Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật nếu:

DH2: $\hat{A}={90}^0$

DH3: $AC=BD$

10. Hình vuông

a. Định nghĩa hình vuông

Hình vuông là tứ giá có 4 góc vuông và 4 cạnh bằng nhau.

b. Tính chất hình vuông

Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì: 

- Tứ giác ABCD có đầy đủ tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

c. Dấu hiệu nhận biết hình vuông

Tứ giác ABCD là hình vuông nếu:

- DH1: $\left\{\begin{array}{l}\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}=\hat{D}={90}^0\\ AB=BC=CD=DA\end{array}\right.$

- DH2: Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau: AB = BC

- DH3: Hình chữ nhật có 2 đường chéo vuông góc $AC\perp BD$

- DH4: Hình chữ nhật có 1 đường chéo là phân giác của 1 góc:

$AC$ là phân giác góc A

- DH5: Hình thoi có 1 góc vuông: $\hat{A}={90}^0$

- DH6: Hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau: AC = BD